Hoe los je een driehoek op als je de lengtes van de drie zijden weet?
Wat is een driehoek?
- Gegeven drie niet-collineaire punten A, B, C, wordt de verzameling gevormd door deze drie punten, samen met de verzameling van alle punten van de lijnstukken AB, BC en CA, de driehoek genoemd die wordt bepaald door de punten A, B, C. Zie de afbeelding met de driehoek △ABC.
Driehoek △ABC - Een driehoek is een verzameling punten in het vlak die een veelhoek vormen met drie hoekpunten, A, B, C, drie zijden, AB, BC, CA, en drie hoeken, ∠ABC, ∠BCA, ∠CAB (of, als er geen verwarring is, ∠A, ∠B, ∠C).
- Een hoekpunt, in ons geval A, is het punt waar twee zijden elkaar snijden - AB en AC. De drie hoekpunten A, B en C worden verbonden door drie lijnstukken, AB, BC en CA, die zijden worden genoemd. Deze vormen drie hoeken, ∠ABC, ∠BCA en ∠CAB, waarvan de som 180° is (we demonstreren dit hieronder).
- De zijden van de driehoek worden bepaald door de lengte van de drie lijnstukken AB, BC en CA.
- Een driehoek wordt meestal aangeduid met zijn hoekpunten, in alfabetische volgorde: △ABC. Maar exact dezelfde driehoek kan ook worden geschreven als: △ACB, △BAC, △BCA, △CAB, △CBA - dat wil zeggen, met behulp van alle combinaties die de drie letters kunnen vormen.
- In driehoek △ABC staat hoek ∠A tegenover zijde BC, en omgekeerd staat zijde BC tegenover hoek ∠A. Voor de lengtes van de zijden van driehoek △ABC worden meestal de volgende notaties gebruikt: a = BC, b = CA, c = AB.
Driehoek △ABC en de zijden a, b, c - Wanneer alle drie de zijden even lang zijn, wordt de driehoek een gelijkzijdige driehoek genoemd. Een driehoek waarin slechts twee zijden even lang zijn, wordt een gelijkbenige driehoek genoemd. Wanneer de zijden van een driehoek verschillende lengtes hebben, wordt het een ongelijkzijdige driehoek genoemd.
Omtrek en halve omtrek van een driehoek
- Omtrek: De som van de lengtes van de zijden van een driehoek △ABC wordt de omtrek van de driehoek genoemd en wordt aangeduid met:
PABC = AB + BC + CA = c + a + b. - Halve omtrek: De halve som van de lengtes van de zijden van een driehoek △ABC wordt de halve omtrek van de driehoek genoemd en wordt aangeduid met:
pABC = (AB + BC + CA)/2 = (c + a + b)/2
Positie van een punt ten opzichte van een driehoek
- Een punt wordt een binnenpunt van een driehoek genoemd als het binnen elke hoek van de driehoek ligt.
- Een punt dat zich noch binnen de driehoek, noch op de zijden van de driehoek bevindt, wordt een buitenpunt van de driehoek genoemd.
Soorten driehoeken in termen van hoeken
- Een driehoek met een hoek van 90°, ook wel een rechte hoek genoemd, wordt een rechthoekige driehoek genoemd. Als de rechte hoek A is, worden de zijden die de rechte hoek vormen, AB en CA, benen genoemd. De zijde tegenover de rechte hoek, BC, wordt de hypotenusa genoemd. Een driehoek kan niet meer dan één rechte hoek hebben - omdat de som van de drie hoeken van een driehoek 180° moet zijn - als er twee rechte hoeken zouden zijn, zouden deze al 90° + 90° = 180° meten, waardoor er niets overblijft voor de derde hoek.
Rechthoekige driehoek △ABC - Een driehoek die allemaal scherpe hoeken heeft, wordt een scherpe driehoek of scherpe ongelijkzijdig genoemd: ∠A < 90°, ∠B < 90°, ∠C < 90°.
Acute ongelijkzijdige driehoek △ABC - Een driehoek met een stompe hoek, d.w.z. groter dan 90°, wordt een stompe driehoek of stompe ongelijkzijdige driehoek genoemd: in ons geval is ∠A > 90°.
Stompe ongelijkzijdige driehoek △ABC - Een driehoek die allemaal gelijke hoeken heeft, ook wel congruent genoemd, ∡A = ∡B = ∡C = 180°/3 = 60°, wordt een gelijkzijdige driehoek genoemd. In een gelijkzijdige driehoek zijn ook alle zijden congruent: AB ≅ BC ≅ CA.
Gelijkzijdige driehoek △ABC - Een driehoek die slechts twee congruente hoeken heeft, bijvoorbeeld ∠B ≅ ∠C, wordt een gelijkbenige driehoek genoemd. In een gelijkbenige driehoek zijn de zijden tegenover de congruente hoeken ook congruent. De derde zijde van de gelijkbenige driehoek wordt de basis van de gelijkbenige driehoek genoemd.
Gelijkbenige driehoek △ABC
Regels specifiek voor driehoeken
- 1. De som van de maten van de hoeken in een driehoek is altijd gelijk aan 180°. Zie de volgende afbeelding en het bijbehorende bewijs.
- Laat △ABC een driehoek zijn. We construeren de parallelle d door A tot BC en de punten D en E op de lijn d, zoals in de figuur. De punten D, A en E liggen op dezelfde lijn en zijn collineair. Dus DE ∥ BC ⇒ (1) ∠ABC ≅ ∠DAB - zijnde alternatieve binnenhoeken voor DE ∥ BC en secans AB en (2) ∠ACB ≅ ∠CAE - zijnde alternatieve binnenhoeken voor DE ∥ BC en secans AC. Uit (1) en (2) verkrijgen we de relatie voor de som van de hoeken in de driehoek △ABC: ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = ∠DAB + ∠BAC + ∠CAE = ∠DAE = 180°.
Som van de afmetingen van de hoeken in een driehoek - 2. In een driehoek moet de som van de lengtes van twee zijden groter zijn dan de lengte van de derde zijde, anders kan de driehoek niet worden geconstrueerd. In de volgende figuur kun je zien dat de lengte van zijde a groter is dan de som van de lengtes van b en c: a > b + c. In dit geval kan de driehoek △ABC helemaal niet worden geconstrueerd.
Onmogelijke driehoek: zijden - 3. Een driehoek kan slechts één hoek hebben die groter is dan of gelijk is aan 90°. Als een driehoek twee hoeken van minstens 90° zou hebben, zou er niets meer over zijn voor de derde hoek, volgens regel nr. 1. In ons geval, aangezien ∡B = 90° en ∠C > 90°, kunnen de zijden b en c elkaar niet ontmoeten om het hoekpunt A van de driehoek △ABC te vormen.
Onmogelijke driehoek: hoeken 
Externe hoeken4. De hoek grenzend aan en aanvullend op een hoek van de driehoek wordt een buitenhoek van de driehoek genoemd. Elke driehoek heeft drie paar buitenhoeken, zes buitenhoeken in totaal. Elke hoek van de driehoek heeft twee paar buitenhoeken, congruent met elkaar, die tegenovergesteld zijn aan de top: hoek ∠A heeft twee buitenhoeken ∠1 en ∠2 - waarbij ∠1 ≡ ∠2, hoek ∠C twee buitenhoeken ∠3 en ∠4 heeft - waarbij ∠3 ≡ ∠4, en hoek ∠B twee buitenhoeken heeft hoeken ∠5 en ∠6, waarbij ∠5 ≡ ∠6.
De maat van een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de maten van de hoeken die er niet aan grenzen, aangezien ∠A + ∠B + ∠C = 180° en ∠A + ∠1 = 180°, volgt hieruit dat: ∡1 = 180° - ∠A en ∡1 = ∠B + ∠C; eveneens ∡2 = 180° - ∠A en ∡2 = ∠B + ∠C; ∡3 = 180° - ∠C en ∡3 = ∠A + ∠B; ∡4 = 180° - ∠C en ∡4 = ∠A + ∠B; ∡5 = 180° - ∠B en ∡5 = ∠A + ∠C; en tenslotte ∡6 = 180° - ∠B en ∡6 = ∠A + ∠C.
De som van de afmetingen van alle buitenhoeken van een driehoek is gelijk aan: ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = 2 × ∠1 + 2 × ∠3 + 2 × ∠5 = 2 × (∠1 + ∠3 + ∠5) = 2 × (180° - ∠A + 180° - ∠B + 180° - ∠C) = 2 × (3 × 180° - (∠A + ∠B + ∠C)) = 2 × (3 × 180° - 180°) = 2 × (2 × 180°) = 2 × 360° = 720°.
- 5. Wat een driehoek ook is met twee niet-congruente zijden, de grootste zijde staat tegenover de grotere hoek. Als a > b en a > c, dan ∠A > ∠B en ∠A > ∠C.
Grotere zijde tegenover een grotere hoek
Hoe los je de driehoek op als je de lengtes van de drie zijden kent?
- Als je de lengtes a, b en c kent van de drie zijden van een driehoek △ABC, waarbij a de tegenoverliggende zijde is ∠A, b de tegenoverliggende zijde is ∠B, en c de tegenoverliggende zijde is ∠C, kan elke hoek worden berekend met behulp van de onderstaande formules.
De herschikte vorm van de wet van cosinus (of cosinusregel)
- Deze formule wordt gebruikt om de maat van een hoek in een willekeurige driehoek te berekenen als je de lengtes van alle drie de zijden kent:
- ∡A = arccos((b2 + c2 - a2) / (2 × b × c))
- ∡B = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c))
- ∡C = arccos((a2 + b2 - c2) / (2 × a × b))
- Voorbeeld: Als je de zijden van een driehoek kent, a = 7, b = 5 and c = 9, bereken de hoeken ∡A, ∡B en ∡C van de driehoek:
- ∡A =
arccos((52 + 92 - 72) / (2 × 5 × 9)) =
arccos((25 + (9 + 7) × (9 - 7))) / 90) =
arccos((25 + 16 × 2)) / 90) =
arccos((25 + 32)) / 90) =
arccos(57/90) =
arccos(0.6333) =
0.88498643446628 radialen =
50.705987621249 graden - ∡B =
arccos((72 + 92 - 52) / (2 × 7 × 9)) =
arccos((49 + (9 + 5) × (9 - 5))) / 126) =
arccos((49 + 14 × 4)) / 126) =
arccos((49 + 56)) / 126) =
arccos(105/126) =
arccos(0.8333) =
0.58574584298534 radialen =
33.560764670393 graden - ∡C =
arccos((72 + 52 - 92) / (2 × 7 × 5)) =
arccos((49 + (5 + 9) × (5 - 9))) / 70) =
arccos((49 + 14 × -4)) / 70) =
arccos((49 + -56)) / 70) =
arccos(-7/70) =
arccos(-0.1) =
1.6709637479565 radialen =
95.739170477267 graden - Controleer of de som van de hoeken ∡A + ∡B + ∡C = 180°.
- ∡A = 50.705987621249°
∡B = 33.560764670393°
∡C = 95.739170477267°
∡A + ∡B + ∡C =
50.705987621249 + 33.560764670393 + 95.739170477267 =
180.00592276891° ≈ 180°