Los de driehoek op, gegeven de lengte van de drie zijden: 12, 8 en 17. Driehoekscalculator: hoeken, oppervlakte, (semi)omtrek, hoogten, medianen, stralen van cirkels

Bereken de hoeken en de oppervlakte van de driehoek, de (semi)omtrek, de drie hoogten en medianen en de stralen van de ingeschreven en omgeschreven cirkels van de driehoek


  • De gegeven driehoek wordt hieronder stap voor stap opgelost, met volledige uitleg van de gebruikte formules, duidelijke uitleg over de gebruikte termen en met illustratieve afbeeldingen.
  • Aan het einde worden alle berekende gegevens van de driehoek samengevat in één sectie.
  • De volgorde van de stappen voor het oplossen van de driehoek: 1) het berekenen van de omtrek, 2) de halve omtrek, 3) de afmetingen van de hoeken, 4) de oppervlakte - berekend op twee manieren, 5) de lengtes van de drie hoogten van de driehoek, 6) de lengtes van de drie medianen van de driehoek, 7) de straal van de ingeschreven cirkel, en 8) de straal van de omgeschreven cirkel.

Ongelijkzijdige driehoek

  • Dit is een ongelijkzijdige driehoek, waarbij alle lengtes van de zijden van elkaar verschillen, zonder een rechthoekige driehoek te zijn.
  • De driehoek is niet gelijkzijdig, noch gelijkbenig, noch rechthoekig, dingen die gemakkelijk kunnen worden bepaald aan de hand van de lengtes van de zijden.

2. Bereken de halve omtrek, s = (a + b + c) / 2

Deel de omtrek door 2.

  • s =
  • (12 + 8 + 17) / 2 =
  • 37 / 2 =
  • 18,5

3. Bereken de hoekmaten van de driehoek

  • Definities

  • Definitie 1: De cosinus - In een rechthoekige driehoek vertegenwoordigt de cosinus van een hoek de verhouding van de zijde grenzend aan de hoek tot de hypotenusa.
  • cos(∠A) = c/b
  • Cosinus en arccosinus

    Cosinus en arccosinus

  • Definitie 2: Arccos (de arccosinus) - Dit is het omgekeerde van de standaard wiskundige functie voor cosinus. Terwijl de cosinusfunctie een hoek aanneemt en de overeenkomstige verhouding retourneert, neemt de arccos een verhouding en retourneert de overeenkomstige hoek.
  • Aangezien cos en arccos inverse functies zijn, arccos(cos(∡A)) = ∡A; als we de functie arccos toepassen op de bovenstaande gelijkheid:
  • cos(∡A) = c/b => arccos(cos(∡A)) = arccos(c/b) <=>
  • ∡A = arccos(c/b) =>
  • arccos(c/b) = maat voor hoek ∡A

  • Berekeningsvoorbeelden

  • Voorbeeld 1: Berekening van de cosinus
  • In een rechthoekige driehoek met de maat van hoek ∡B = 90°, is de lengte van zijde b = 10 en de lengte van zijde c = 6, wordt de cosinus van hoek ∠A berekend als:
  • cos(∠A) = c/b = 6/10 = 3/5 = 0,6.
  • Voorbeeld 2: Berekening van de boogcosinus
  • In een rechthoekige driehoek met de maat van hoek ∡B = 90°, de lengte van zijde b = 10 en de lengte van zijde c = 6, wordt de maat van hoek ∡A berekend als:
  • arccos(cos(∠A)) = maat van hoek ∡A = arccos(c/b) = arccos(6/10) = arccos(3/5) = arccos(0,6) = 53,1301024° ≈ 53,13°.

Gebruik de drie onderstaande formules om de hoekmaten te berekenen.

Deze formules zijn afgeleid van de wet van cosinus (of de algemene stelling van Pythagoras).


  • m(∡A) = arccos((b2 + c2 - a2) / (2 × b × c))
  • m(∡B) = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c))
  • m(∡C) = arccos((a2 + b2 - c2) / (2 × a × b))
  • Waarbij:
  • a = zijde van de driehoek is tegenover hoek ∠A
  • b = zijde van de driehoek is tegenover hoek ∠B
  • c = zijde van de driehoek is tegenover hoek ∠C

  • Waarom deze formule? Bewijs van de wet van cosinus

  • In elke driehoek △ABC, die niet rechthoekig is, met zijdelengtes BC = a, AC = b en AB = c, tekenen we vanuit het hoekpunt A de loodlijn op de zijde BC, die BC snijdt in punt D. We noteren de lengtes van de zijden AD = ha, BD = a1 en CD = a2, waarbij a1 + a2 = a.
  • Bewijs van de wet van cosinus

    Bewijs van de wet van cosinus

  • In de rechthoekige driehoek △ABD hebben we de volgende trigonometrische relaties:
  • sin(∠B) = ha/c => ha = c × sin(∠B)
  • cos(∠B) = a1/c => a1 = c × cos(∠B)
  • In de rechthoekige driehoek △ADC passen we de stelling van Pythagoras toe:
  • b2 = ha2 + a22 <=>
  • b2 = ha2 + (a - a1)2
  • Vervang ha en a1 in de bovenstaande formule:
  • b2 = c2 × sin2(∠B) + (a - c × cos(∠B))2 <=>
  • b2 = c2 × sin2(∠B) + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) + c2 × cos2(∠B) <=>
  • b2 = c2 × (sin2(∠B) + cos2(∠B)) + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • b2 = c2 × (ha2/c2 + a12/c2) + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • b2 = c2 × (ha2 + a12)/c2 + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • In de rechthoekige driehoek △ABD ha2 + a12 = c2 (Stelling van Pythagoras) =>
  • (ha2 + a12)/c2 = 1 =>
  • b2 = c2 + a2 - 2 × a × c × cos(∠B) <=>
  • cos(∠B) = (a2 + c2 - b2) / (2 × a × c)
  • Pas de functie arccos toe op beide zijden van de gelijkheid:
  • arccos(cos(∠B)) = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c)) =>
  • m(∡B) = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c))
  • Hetzelfde proces wordt gebruikt om de afmetingen van de hoeken ∠A en ∠C te berekenen.

  • De laatste drie definities: π. Radialen. Graden

  • Definitie: π vertegenwoordigt de constante verhouding van de omtrek van een cirkel, C, tot zijn diameter, d (d = 2 × r, waarbij r de straal van de cirkel is), wat ongeveer 3,14159 is, gewoonlijk geschat als de breuk 22/7.
    π = C/d = C/(2 × r)
  • Hoekenmeting: π. Radialen. Grade

    Hoekenmeting: π. Radialen. Grade

  • Definitie: Een radiaal is een standaardeenheid voor hoekmeting. Een radiaal is gelijk aan de hoek die wordt gevormd wanneer de lengte van de boog van een cirkel gelijk is aan de straal van diezelfde cirkel. Er zijn precies 2π radialen in de omtrek (de lengte) van een cirkel (elke cirkel). 1 radiaal is grofweg 57,296° (graden). Een hoek van 360° = 2π radialen, 180° = π radialen, 90° = π/2 radialen, 45° = π/4 radialen.
  • Definitie: Hoeken worden meestal gemeten in graden (°). Een graad is een standaardeenheid voor hoekmeting. De hoek gevormd door een volledige cirkel is 360°. Een stompe hoek ligt tussen (90° en 180°). Een rechte hoek is 90°. Een scherpe hoek ligt tussen (0° en 90°).

Bereken de grootte van hoek ∠A

  • m(∡A) =
  • arccos((82 + 172 - 122) / (2 × 8 × 17)) =
  • arccos((64 + (17 + 12) × (17 - 12))) / 272) =
  • arccos((64 + 29 × 5)) / 272) =
  • arccos((64 + 145)) / 272) =
  • arccos(209/272) =
  • arccos(0,768382352941) =
  • 0.69448663359368 radialen =
  • (0.69448663359368 radialen × 360 graden) / (2 × π radialen) =
  • (0.69448663359368 × 180 graden) / π =
  • 39.791153033166 graden =
  • 39 graden, 47 minuten en 28.15 seconden

Bereken de grootte van hoek ∠B

  • m(∡B) =
  • arccos((122 + 172 - 82) / (2 × 12 × 17)) =
  • arccos((144 + (17 + 8) × (17 - 8))) / 408) =
  • arccos((144 + 25 × 9)) / 408) =
  • arccos((144 + 225)) / 408) =
  • arccos(369/408) =
  • arccos(0,904411764706) =
  • 0.44079732213678 radialen =
  • (0.44079732213678 radialen × 360 graden) / (2 × π radialen) =
  • (0.44079732213678 × 180 graden) / π =
  • 25.255826179106 graden =
  • 25 graden, 15 minuten en 20.97 seconden

Bereken de grootte van hoek ∠C

  • m(∡C) =
  • arccos((122 + 82 - 172) / (2 × 12 × 8)) =
  • arccos((144 + (8 + 17) × (8 - 17))) / 192) =
  • arccos((144 + 25 × - 9)) / 192) =
  • arccos((144 + - 225)) / 192) =
  • arccos(- 81/192) =
  • arccos(- 0,421875) =
  • 2.0063086978593 radialen =
  • (2.0063086978593 radialen × 360 graden) / (2 × π radialen) =
  • (2.0063086978593 × 180 graden) / π =
  • 114.953020787726 graden =
  • 114 graden, 57 minuten en 10.87 seconden

Controleer of de som van de hoeken ∡A + ∡B + ∡C = 180°

  • ∡A = 39.791153033166°
  • ∡B = 25.255826179106°
  • ∡C = 114.953020787726°

Opmerking: De som van de hoeken is ongeveer 180° in plaats van precies 180°. Dit komt omdat we berekeningen hebben uitgevoerd waarbij afronding nodig was: het berekenen van de arcco's en het omzetten van radialen naar graden.


  • m(∡A) + m(∡B) + m(∡C) =
  • 39.791153033166° + 25.255826179106° + 114.953020787726° =
  • 179.999999999998° ≈ 180°

4.1. Bereken de oppervlakte van de driehoek

Methode 1. Langer

  • Deze methode vereist meer stappen om tot het resultaat te komen dan de tweede.
  • In theorie zullen beide berekeningsformules tot exact hetzelfde resultaat leiden. Maar in de praktijk kun je bij het gebruik van rekenhulpmiddelen met afrondingen en benaderingen beter kiezen voor de rekenmethode met minder stappen en minder benaderingen.
  • Deze methode wordt hier gepresenteerd voor demonstratieve doeleinden. We zullen de oppervlakte berekenen met behulp van de tweede methode, die minder stappen en minder benaderingen met zich meebrengt.

  • De klassieke formule:

  • Oppervlakte = 1/2 × a × ha
  • Waarbij:
  • a = zijde van de driehoek is tegenover hoek ∠A
  • ha = de hoogte AD vanaf het hoekpunt A tot de zijde "a" (BC), waarbij D behoort tot de lijn die het segment BC bevat.
  • De hoogte ha uitgedrukt als functie van zijde

    De hoogte ha uitgedrukt als functie van zijde "b" en de sinus van hoek C

  • == Maar we weten de hoogte ha niet. Hoe gaan we verder? ==
  • Met behulp van trigonometrie, in de rechthoekige driehoek △ADC (∡D = 90°), gevormd rechts van de hoogte ha:
  • sin(∠C) = ha / b
  • Hieruit volgt dat ha = b × sin(∠C).
  • Vervang de hoogte ha in de klassieke formule van de oppervlakte en krijg:

  • Trigonometrische formule:

  • Oppervlakte = 1/2 × a × b × sin(∠C)

Bereken de oppervlakte van de driehoek

  • Oppervlakte =

  • 1/2 × a × b × sin(∠C) =
  • 1/2 × 12 × 8 × sin(114.953020787726 graden) =
  • 1/2 × 12 × 8 × sin(2.0063086978593 radialen) ≈
  • 48 × 0,906654004775 =
  • 43,5193922292 ≈
  • 43,52 vierkante eenheden

Opmerking: De oppervlakte wordt berekend met behulp van de tweede methode, waarbij minder stappen en benaderingen nodig zijn.



4.2. Bereken de oppervlakte van de driehoek

Methode 2. Korter

  • Heron's formule

  • Gezien de lengte van de drie zijden, kan de oppervlakte van een driehoek worden berekend met behulp van de Heron's formule:
  • Oppervlakte2 = s × (s - a) × (s - b) × (s - c)
  • Waarbij:
  • a, b en c zijn de lengtes van de drie zijden van de driehoek
  • s is de halve omtrek van de driehoek, hierboven al berekend

  • Stap-voor-stap Pythagoras bewijs van de formule van Heron

  • Beschouw een driehoek △ABC met zijn zijden BC = a, AC = b en AB = c. Teken de hoogte vanaf hoekpunt A, tegenover zijde "a", AD ⊥ BC, D ∈ BC, AD = h. Ad splitst de basis "a" in twee segmenten, BD = x en CD = a - x.
  • De driehoek △ABC voor de formule van Heron

    De driehoek △ABC voor de formule van Heron

  • Pas de stelling van Pythagoras toe op de rechthoekige driehoek △ADB:
  • h2 + x2 = c2 =>
  • h2 = c2 - x2
  • Pas de stelling van Pythagoras toe op de rechthoekige driehoek △ADC:
  • h2 + (a - x)2 = b2 =>
  • h2 = b2 - (a - x)2
  • Maak de twee uitdrukkingen voor h2 gelijk en los het segment "x" op:
  • c2 - x2 = b2 - (a - x)2 <=>
  • c2 - x2 = b2 - (a2 - 2 × a × x + x2) <=>
  • c2 - x2 = b2 - a2 + 2 × a × x - x2 <=>
  • c2 = b2 - a2 + 2 × a × x <=>
  • 2 × a × x = a2 + c2 - b2 <=>
  • x = (a2 + c2 - b2)/(2 × a)
  • Vervang "x" terug in de formule van h2 en bereken de hoogte "h":
  • h2 = c2 - x2 <=>
  • h2 = c2 - ((a2 + c2 - b2)/(2 × a))2
  • Bereken de expressie in factoren met behulp van de regel voor het verschil in kwadraten, c2 - x2 = (c - x) × (c+x):
  • h2 = ((2 × a × c)2 - (a2 + c2 - b2)2) / (2 × a))2 <=>
  • h2 = (2 × a × c - a2 - c2 + b2) × (2 × a × c + a2 + c2 - b2) / (2 × a)2 <=>
  • h2 = (b2 - (a2 - 2 × a × c + c2)) × ((a2 + 2 × a × c + c2) - b2) / (2 × a)2 <=>
  • h2 = (b2 - (a - c)2) × ((a + c)2 - b2) / (2 × a)2 <=>
  • h2 = (b - a + c) × (b + a - c) × (a + c - b) × (a + c + b) / (2 × a)2 <=>
  • h2 = (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c) / (2 × a)2
  • Vervang h2 in de formule voor het gebied van de driehoek:
  • Oppervlakte = 1/2 × a × h => Oppervlakte2 = 1/4 × a2 × h2 =>
  • Oppervlakte2 = 1/4 × a2 × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c) / (4 × a2) <=>
  • [1] Oppervlakte2 = 1/16 × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)
  • Gebruik de semi-perimeter s = (a + b + c)/2 om de factoren van de formule [1] hierboven uit te drukken:
  • => a + b + c = 2 × s
  • => b + c - a = 2 × s - 2 × a = 2 × (s - a)
  • => a + c - b = 2 × s - 2 × b = 2 × (s - b)
  • => a + b - c = 2 × s - 2 × c = 2 × (s - c)
  • Herschrijf formule [1]:
  • Oppervlakte2 = 1/24 × 2 × s × 2 × (s - a) × 2 × (s - b) × 2 × (s - c) <=>
  • Oppervlakte2 = s × (s - a) × (s - b) × (s - c) - Heron's formule

Bereken de oppervlakte van de driehoek

  • Oppervlakte2 =

  • s × (s - a) × (s - b) × (s - c) =
  • 18,5 × (18,5 - 12) × (18,5 - 8) × (18,5 - 17) =
  • 18,5 × 6,5 × 10,5 × 1,5 =
  • 1.893,9375 ≈
  • 1.893,94

Oppervlakte = 43,519392229212 ≈ 43,52 vierkante eenheden

5. Bereken de drie hoogten van de driehoek

  • Definitie: De hoogte van een driehoek is een recht lijnsegment getrokken vanuit een hoekpunt, loodrecht (in een hoek van 90 graden) naar de tegenoverliggende zijde. Elke driehoek heeft drie hoogten. Alle drie de hoogten kruisen elkaar altijd op één punt, het zogenaamde orthocentrum.
  • De drie hoogten van de driehoek

    De drie hoogten van de driehoek

  • In de driehoek △ABC is ha de hoogte vanaf hoekpunt A, loodrecht op de zijde BC, ha ⊥ BC. hb is de hoogte vanaf hoekpunt B, loodrecht op zijde AC, hb ⊥ AC. hc begint vanaf het hoekpunt C, loodrecht op de zijde AB, hc ⊥ AB. Ze kruisen elkaar allemaal in punt H, het orthocentrum.
  • Als we de oppervlakte en zijden van de driehoek kennen, kunnen we de hoogten ha, hb en hc berekenen van respectievelijk de hoekpunten A, B en C naar de zijden a, b en c.
  • Uitgaande van de klassieke oppervlakteformule:
  • Oppervlakte = 1/2 × a × ha =>
  • ha = 2 × Oppervlakte / a = 7,253232038202 ≈ 7,25
  • Oppervlakte = 1/2 × b × hb =>
  • hb = 2 × Oppervlakte / b = 10,879848057303 ≈ 10,88
  • Oppervlakte = 1/2 × c × hc =>
  • hc = 2 × Oppervlakte / c ≈ 5,119928497554 ≈ 5,12

6. Bereken de lengtes van de drie medianen van de driehoek

  • Definitie: Een mediaan van een driehoek is een lijnsegment dat een hoekpunt van de driehoek verbindt met het middelpunt van de tegenoverliggende zijde. Elke driehoek heeft drie medianen die samenkomen in één enkel middelpunt, het zogenaamde zwaartepunt.
  • De drie medianen van de driehoek

    De drie medianen van de driehoek

  • In de driehoek △ABC is ma de mediaan die hoekpunt A verbindt met het midden van zijde BC, mb is de mediaan die hoekpunt B verbindt met het midden van zijde AC en mc is de mediaan die hoekpunt C verbindt met het midden van zijde AB. Ze snijden elkaar allemaal in punt G, het zwaartepunt.
  • Het zwaartepunt G verdeelt de lengtes van de drie medianen als volgt:
  • AG/AM = BG/BP = CG/CN = 2/3
  • GM/AM = GP/BP = GN/CN = 1/3
  • GM/AG = GP/BG = GN/CG = 1/2

  • De stelling van Apollonius

  • == Bewijs van de stelling van Apollonius aan het einde van de sectie. ==
  • In een driehoek △ABC, waarvan we de lengtes van de zijden "a", "b" en "c" kennen - met respectievelijk de tegenovergestelde hoekpunten A, B en C, is er een relatie tussen de lengtes van de zijden en de lengtes van de medianen ma, mb en mc, waarbij de mediaan ma van hoekpunt A naar zijde "a" gaat, mediaan mb gaat van hoekpunt B naar kant "b", en mc gaat van hoekpunt A naar kant "c":
  • b2 + c2 = 2 × (ma2 + (a/2)2) =>
  • ma2 = (b2 + c2)/2 - (a/2)2= 140,5 =>
  • De mediaan ma ≈ 11,85326959113 ≈ 11,85
  • a2 + c2 = 2 × (mb2 + (b/2)2) =>
  • mb2 = (a2 + c2)/2 - (b/2)2= 200,5 =>
  • De mediaan mb ≈ 14,159802258506 ≈ 14,16
  • a2 + b2 = 2 × (mc2 + (c/2)2) =>
  • mc2 = (a2 + b2)/2 - (c/2)2= 31,75 =>
  • De mediaan mc ≈ 5,634713834792 ≈ 5,63

  • Bewijs van de stelling van Apollonius

  • We bewijzen de stelling van Apollonius met behulp van de cosinuswet, die we hierboven hebben bewezen, toen we de afmetingen van de hoeken berekenden.
  • De drie medianen van de driehoek

    De drie medianen van de driehoek

  • Laat mediaan AM, met lengte ma, de zijde BC, met lengte "a", in twee gelijke delen, met lengte BM = CM = a/2, verdelen. Ook AB = c, AC = b, BC = a.
  • Laat de maat van de hoek ∡AMB = θ. Omdat twee hoeken op een rechte lijn bij elkaar opgeteld 180° vormen, is de aangrenzende hoek ∡AMC = 180° - θ.
  • => cos(180° - θ) = - cos(θ)
  • Pas de wet van cosinus toe op de driehoek △ABM, en zorg ervoor dat u ook de hoek ∡AMB = θ opneemt in de formule:
  • c2 = ma2 + (a/2)2 - 2 × ma × a/2 × cos(θ) =>
  • [1] c2 = ma2 + (a/2)2 - ma × a × cos(θ)
  • Pas de wet van cosinus toe op de driehoek △ACM, en zorg ervoor dat u ook de hoek ∡AMC = 180° - θ opneemt in de formule:
  • b2 = ma2 + (a/2)2 - 2 × ma × a/2 × cos(180° - θ)
  • cos(180° - θ) = - cos(θ)
  • De bovenstaande relatie wordt:
  • [2] b2 = ma2 + (a/2)2 + ma × a × cos(θ)
  • Tel de twee vergelijkingen [1] en [2] bij elkaar op. De termen ma × een &tijden; cos(θ) en - ma × een &tijden; cos(θ) heffen elkaar op:
  • b2 + c2 = 2 × (ma2 + (a/2)2)

7. Bereken de straal van de ingeschreven cirkel

  • Intro

  • De bissectrice van een hoek is een halve rechte lijn binnen de hoek, met de oorsprong aan de top, die twee congruente hoeken vormt met de zijden van de hoek. Elk punt dat tot de bissectrice behoort, ligt op gelijke afstand van beide zijden van de hoek.
  • Bissectrice van een hoek

    Bissectrice van een hoek

  • In elke driehoek zijn de deellijnen van de hoeken gelijk op een punt dat het middelpunt is van de cirkel, rakend aan de zijden van de driehoek, de cirkel genoemd die in de driehoek is ingeschreven. Dit is de grootste cirkel die binnen de driehoek past.
  • De bissectrices en de cirkel ingeschreven in de driehoek

    De bissectrices en de cirkel ingeschreven in de driehoek

  • In de driehoek △ABC is AA' de bissectrice van de hoek ∠BAC => ∠BAA' = ∠CAA' = ∠BAC / 2
  • BB' is de bissectrice van de hoek ∠ABC => ∠ABB' = ∠CBB' = ∠ABC / 2
  • CC' is de bissectrice van hoek ∠ACB => ∠ACC' = ∠BCC' = ∠ACB / 2
  • Bissectrices AA', BB' en CC' snijden elkaar in punt O, dat het middelpunt is van de cirkel ingeschreven in de driehoek. Waarom gebeurt dit?
  • O is een punt op de bissectrice AA' dus het ligt op gelijke afstand van de lijnstukken AB en AC => [1] de afstand van het punt O tot het lijnstuk AB is OP, waarbij OP ⊥ AB (⊥ het symbool is voor loodrechte segmenten), [2] de afstand van het punt O tot het lijnstuk AC is AAN, waarbij ON ⊥ AC en [3] OP ≅ AAN.
  • O is een punt op de bissectrice BB' dus het ligt op gelijke afstand van de lijnstukken AB en BC => [1] de afstand van het punt O tot het lijnstuk AB is OP, waarbij OP ⊥ AB, [2] de afstand van het punt O tot het lijnstuk BC is OM, waarbij OM ⊥ BC en [3] OP ≅ OM.
  • Uit de bovenstaande relaties volgt dat OM = ON = OP = r, waarbij r de straal is van de cirkel ingeschreven in de driehoek

Bereken de straal van de ingeschreven cirkel

  • Om de straal van de cirkel in de driehoek te berekenen, deelt u de oppervlakte van de driehoek door zijn halve omtrek:
  • r = Oppervlakte / s
  • Waarbij:
  • r = straal van de cirkel ingeschreven in de driehoek
  • s is de halve omtrek van de driehoek, hierboven al berekend
  • Waarom deze formule? Hoe bewijzen we het?
  • De oppervlakte van de driehoek △ABC = oppervlakte △OAB + oppervlakte △OBC + oppervlakte △OAC = 1/2 × OP × AB + 1/2 × OM × BC + 1/2 × ON × AC = 1/2 × r × AB + 1/2 × r × BC + 1/2 × r × AC = 1/2 × r × (AB + BC + AC) = 1/2 × r × Omtrek = Omtrek/2 × r = Halve omtrek × r =>
    r = Oppervlakte / Halve omtrek = Oppervlakte / s
  • r = 43,519392229212 / 18,5 ≈ 2,352399579957 ≈ 2,35

8. Bereken de straal van de omgeschreven cirkel

  • Intro

  • De middelloodlijn van een segment is de lijn loodrecht op het segment die door het midden ervan gaat. Elk punt dat tot de middelloodlijn behoort, ligt op gelijke afstand van de uiteinden van het segment.
  • De middelloodlijnen en de omgeschreven cirkel van de driehoek

    De middelloodlijnen en de omgeschreven cirkel van de driehoek

  • In elke driehoek zijn de middelloodlijnen van de zijden gelijk in een punt dat het middelpunt is van de cirkel en door de hoekpunten van de driehoek gaat, de omgeschreven cirkel van de driehoek genoemd.
  • In de driehoek △ABC is OM1 de middelloodlijn van segment BC => BM1 = CM1 = BC / 2 = a / 2, waarbij "a" de lengte is van segment BC.
  • OM2 is de middelloodlijn van segment AC => AM2 = CM2 = AC / 2 = b / 2, waarbij "b" de lengte is van segment AC.
  • OM3 is de middelloodlijn van segment AB => AM3 = BM3 = AB / 2 = c / 2, waarbij "c" de lengte is van segment AB.
  • De middelloodlijnen OM1, OM2 en OM3 snijden elkaar in punt O, dat het middelpunt is van de omgeschreven cirkel van de driehoek. Waarom gebeurt dit?
  • O is een punt op de middelloodlijn OM1 => BM1 = CM1 = a/2, OM1 ⊥ BC (⊥ is het symbool voor segmenten of loodrechte lijnen), en OM1 gemeenschappelijk segment => rechthoekige driehoeken △OBM1 ≅ △OCM1 => OB ≅ OC.
  • O is een punt op de middelloodlijn OM2 => AM2 = CM2 = b/2, OM2 ⊥ AC en gemeenschappelijk segment OM2 => rechthoekige driehoeken △OAM2 ≅ △OCM2 => OA ≅ OC.
  • Uit de bovenstaande relaties volgt dat OA = OB = OC = R, waarbij R de straal is van de cirkel die de driehoek omschrijft.

Bereken de straal van de omgeschreven cirkel

  • Om R, de straal van de cirkel die de driehoek omschrijft, te berekenen, past u de formule toe:
  • R = a × b × c / (4 × Oppervlakte)
  • Waarbij:
  • a, b en c zijn de lengtes van de drie zijden van de driehoek
  • Waarom deze formule? Hoe bewijzen we het?
  • De Stelling van Sines legt de relatie vast tussen de lengtes van de zijden a, b en c van een driehoek, bijvoorbeeld △ABC, en de sinussen van de tegenovergestelde hoeken, ∠A, ∠B en ∠C:
  • [1] a/sin(∠A) = b/sin(∠B) = c/sin(∠C) = 2 × R
  • R is de straal van de omgeschreven cirkel van de driehoek △ABC.
  • We gebruiken ook de Trigonometrische Formule voor de Oppervlakte die we hierboven hebben bewezen, wanneer we de oppervlakte berekenen:
  • [2] Oppervlakte = 1/2 × b × c × sin(∠A)
  • Uit relatie [1] kunnen we het volgende afleiden:
  • [3] sin(∠A) = a/(2 × R)
  • Vervang sin(∠A) in de relatie [2]:
  • Oppervlakte = 1/2 × b × c × a/(2 × R) = a × b × c/(4 × R) =>
  • R = a × b × c/(4 × Oppervlakte)
  • R = 12 × 8 × 17/(4 × 43,519392229212) ≈ 9,375130926717 ≈ 9,38

Eindantwoord. Gegevens van opgeloste driehoek. Samenvatting:

Omtrek
37 eenheden
Halve perimeter
18,5 eenheden
Maat van de hoek ∡A
0.69448663359368 ≈ 0.69449 radialen
39.791153033166 ≈ 39.791 graden
39 graden, 47 minuten en 28.15 seconden
Maat van de hoek ∡B
0.44079732213678 ≈ 0.4408 radialen
25.255826179106 ≈ 25.256 graden
25 graden, 15 minuten en 20.97 seconden
Maat van de hoek ∡C
2.0063086978593 ≈ 2.00631 radialen
114.953020787726 ≈ 114.953 graden
114 graden, 57 minuten en 10.87 seconden
Oppervlakte
43,519392229212 ≈ 43,52 vierkante eenheden
Lengtes van de hoogten
ha = 7,253232038202 ≈ 7,25 eenheden
hb = 10,879848057303 ≈ 10,88 eenheden
hc = 5,119928497554 ≈ 5,12 eenheden
Lengtes van de medianen
ma = 11,85326959113 ≈ 11,85 eenheden
mb = 14,159802258506 ≈ 14,16 eenheden
mc = 5,634713834792 ≈ 5,63 eenheden
Straal, ingeschreven cirkel
2,352399579957 ≈ 2,35 eenheden
Straal, omgeschreven cirkel
9,375130926717 ≈ 9,38 eenheden
  • De driehoek △ABC met zijdelengtes: a = 12, b = 8, c = 17

    De driehoek △ABC met zijdelengtes: BC (a) = 12, AC (b) = 8, AB (c) = 17

Gebruikte symbolen: + toevoeging, - aftrekken, × vermenigvuldiging, / divisie, = gelijk, ≈ ongeveer, => logische implicatie, ∠ hoek, ∡ gemeten hoek, m(∡A) hoekmaat, △ driehoek, ⌒ boog van een cirkel, ⊥ loodrecht, ≅ congruentie, π de constante verhouding tussen de omtrek van een cirkel en zijn diameter, ° eenheid van de gemeten waarde van een hoek en deze wordt graden genoemd, ∈ het behoort tot, x2 x verheven tot de tweede macht of x kwadraat = x × x, sin(∠A) sinus van hoek A, cos(∠A) cosinus van hoek A, arccos(ratio) arccosinus van gegeven verhouding.

Los de LLL-driehoek op, soortgelijke bewerkingen:

» Los de driehoek op als de lengtes van de drie zijden 15, 12 en 13 zijn. Driehoekscalculator: hoeken, oppervlakte, (semi)omtrek, hoogten, medianen, stralen van cirkels

» Driehoeken opgelost door bezoekers gezien de lengte van de drie zijden, maandelijks uitgevoerde bewerkingen

» Maand 08, 2026 [Augustus]: Driehoeken opgelost gezien de lengte van de drie zijden, operaties uitgevoerd in de maand: Augustus




Hoe los je een driehoek op als je de lengtes van de drie zijden weet?

Wat is een driehoek?

  • driehoek △ABC
    Driehoek △ABC
    Gegeven drie niet-collineaire punten A, B, C, wordt de verzameling gevormd door deze drie punten, samen met de verzameling van alle punten van de lijnstukken AB, BC en CA, de driehoek genoemd die wordt bepaald door de punten A, B, C. Zie de afbeelding met de driehoek △ABC.
  • Een driehoek is een verzameling punten in het vlak die een veelhoek vormen met drie hoekpunten, A, B, C, drie zijden, AB, BC, CA, en drie hoeken, ∠ABC, ∠BCA, ∠CAB (of, als er geen verwarring is, ∠A, ∠B, ∠C).
  • Een hoekpunt, in ons geval A, is het punt waar twee zijden elkaar snijden - AB en AC. De drie hoekpunten A, B en C worden verbonden door drie lijnstukken, AB, BC en CA, die zijden worden genoemd. Deze vormen drie hoeken, ∠ABC, ∠BCA en ∠CAB, waarvan de som 180° is (we demonstreren dit hieronder).
  • De zijden van de driehoek worden bepaald door de lengte van de drie lijnstukken AB, BC en CA.
  • Een driehoek wordt meestal aangeduid met zijn hoekpunten, in alfabetische volgorde: △ABC. Maar exact dezelfde driehoek kan ook worden geschreven als: △ACB, △BAC, △BCA, △CAB, △CBA - dat wil zeggen, met behulp van alle combinaties die de drie letters kunnen vormen.
  • driehoek △ABC en de zijden a, b, c
    Driehoek △ABC en de zijden a, b, c
    In driehoek △ABC staat hoek ∠A tegenover zijde BC, en omgekeerd staat zijde BC tegenover hoek ∠A. Voor de lengtes van de zijden van driehoek △ABC worden meestal de volgende notaties gebruikt: a = BC, b = CA, c = AB.
  • Wanneer alle drie de zijden even lang zijn, wordt de driehoek een gelijkzijdige driehoek genoemd. Een driehoek waarin slechts twee zijden even lang zijn, wordt een gelijkbenige driehoek genoemd. Wanneer de zijden van een driehoek verschillende lengtes hebben, wordt het een ongelijkzijdige driehoek genoemd.

Omtrek en halve omtrek van een driehoek

  • Omtrek: De som van de lengtes van de zijden van een driehoek △ABC wordt de omtrek van de driehoek genoemd en wordt aangeduid met:
    PABC = AB + BC + CA = c + a + b.
  • Halve omtrek: De halve som van de lengtes van de zijden van een driehoek △ABC wordt de halve omtrek van de driehoek genoemd en wordt aangeduid met:
    pABC = (AB + BC + CA)/2 = (c + a + b)/2

Positie van een punt ten opzichte van een driehoek

  • Een punt wordt een binnenpunt van een driehoek genoemd als het binnen elke hoek van de driehoek ligt.
  • Een punt dat zich noch binnen de driehoek, noch op de zijden van de driehoek bevindt, wordt een buitenpunt van de driehoek genoemd.

Soorten driehoeken in termen van hoeken

  • rechthoekige driehoek △ABC
    Rechthoekige driehoek △ABC
    Een driehoek met een hoek van 90°, ook wel een rechte hoek genoemd, wordt een rechthoekige driehoek genoemd. Als de rechte hoek A is, worden de zijden die de rechte hoek vormen, AB en CA, benen genoemd. De zijde tegenover de rechte hoek, BC, wordt de hypotenusa genoemd. Een driehoek kan niet meer dan één rechte hoek hebben - omdat de som van de drie hoeken van een driehoek 180° moet zijn - als er twee rechte hoeken zouden zijn, zouden deze al 90° + 90° = 180° meten, waardoor er niets overblijft voor de derde hoek.
  • acute ongelijkzijdige driehoek △ABC
    Acute ongelijkzijdige driehoek △ABC
    Een driehoek die allemaal scherpe hoeken heeft, wordt een scherpe driehoek of scherpe ongelijkzijdig genoemd: ∠A < 90°, ∠B < 90°, ∠C < 90°.
  • stompe ongelijkzijdige driehoek △ABC
    Stompe ongelijkzijdige driehoek △ABC
    Een driehoek met een stompe hoek, d.w.z. groter dan 90°, wordt een stompe driehoek of stompe ongelijkzijdige driehoek genoemd: in ons geval is ∠A > 90°.
  • Gelijkzijdige driehoek △ABC
    Gelijkzijdige driehoek △ABC
    Een driehoek die allemaal gelijke hoeken heeft, ook wel congruent genoemd, ∡A = ∡B = ∡C = 180°/3 = 60°, wordt een gelijkzijdige driehoek genoemd. In een gelijkzijdige driehoek zijn ook alle zijden congruent: AB ≅ BC ≅ CA.
  • Gelijkbenige driehoek △ABC
    Gelijkbenige driehoek △ABC
    Een driehoek die slechts twee congruente hoeken heeft, bijvoorbeeld ∠B ≅ ∠C, wordt een gelijkbenige driehoek genoemd. In een gelijkbenige driehoek zijn de zijden tegenover de congruente hoeken ook congruent. De derde zijde van de gelijkbenige driehoek wordt de basis van de gelijkbenige driehoek genoemd.

Regels specifiek voor driehoeken

  • 1. De som van de maten van de hoeken in een driehoek is altijd gelijk aan 180°. Zie de volgende afbeelding en het bijbehorende bewijs.
  • bewijs: de som van de maten van de hoeken in elke driehoek is 180°
    Som van de afmetingen van de hoeken in een driehoek
    Laat △ABC een driehoek zijn. We construeren de parallelle d door A tot BC en de punten D en E op de lijn d, zoals in de figuur. De punten D, A en E liggen op dezelfde lijn en zijn collineair. Dus DE ∥ BC ⇒ (1) ∠ABC ≅ ∠DAB - zijnde alternatieve binnenhoeken voor DE ∥ BC en secans AB en (2) ∠ACB ≅ ∠CAE - zijnde alternatieve binnenhoeken voor DE ∥ BC en secans AC. Uit (1) en (2) verkrijgen we de relatie voor de som van de hoeken in de driehoek △ABC: ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = ∠DAB + ∠BAC + ∠CAE = ∠DAE = 180°.
  • onmogelijke driehoek: zijden
    Onmogelijke driehoek: zijden
    2. In een driehoek moet de som van de lengtes van twee zijden groter zijn dan de lengte van de derde zijde, anders kan de driehoek niet worden geconstrueerd. In de volgende figuur kun je zien dat de lengte van zijde a groter is dan de som van de lengtes van b en c: a > b + c. In dit geval kan de driehoek △ABC helemaal niet worden geconstrueerd.
  • onmogelijke driehoek: hoeken
    Onmogelijke driehoek: hoeken
    3. Een driehoek kan slechts één hoek hebben die groter is dan of gelijk is aan 90°. Als een driehoek twee hoeken van minstens 90° zou hebben, zou er niets meer over zijn voor de derde hoek, volgens regel nr. 1. In ons geval, aangezien ∡B = 90° en ∠C > 90°, kunnen de zijden b en c elkaar niet ontmoeten om het hoekpunt A van de driehoek △ABC te vormen.
  • externe hoeken
    Externe hoeken

    4. De hoek grenzend aan en aanvullend op een hoek van de driehoek wordt een buitenhoek van de driehoek genoemd. Elke driehoek heeft drie paar buitenhoeken, zes buitenhoeken in totaal. Elke hoek van de driehoek heeft twee paar buitenhoeken, congruent met elkaar, die tegenovergesteld zijn aan de top: hoek ∠A heeft twee buitenhoeken ∠1 en ∠2 - waarbij ∠1 ≡ ∠2, hoek ∠C twee buitenhoeken ∠3 en ∠4 heeft - waarbij ∠3 ≡ ∠4, en hoek ∠B twee buitenhoeken heeft hoeken ∠5 en ∠6, waarbij ∠5 ≡ ∠6.

    De maat van een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de maten van de hoeken die er niet aan grenzen, aangezien ∠A + ∠B + ∠C = 180° en ∠A + ∠1 = 180°, volgt hieruit dat: ∡1 = 180° - ∠A en ∡1 = ∠B + ∠C; eveneens ∡2 = 180° - ∠A en ∡2 = ∠B + ∠C; ∡3 = 180° - ∠C en ∡3 = ∠A + ∠B; ∡4 = 180° - ∠C en ∡4 = ∠A + ∠B; ∡5 = 180° - ∠B en ∡5 = ∠A + ∠C; en tenslotte ∡6 = 180° - ∠B en ∡6 = ∠A + ∠C.

    De som van de afmetingen van alle buitenhoeken van een driehoek is gelijk aan: ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 = 2 × ∠1 + 2 × ∠3 + 2 × ∠5 = 2 × (∠1 + ∠3 + ∠5) = 2 × (180° - ∠A + 180° - ∠B + 180° - ∠C) = 2 × (3 × 180° - (∠A + ∠B + ∠C)) = 2 × (3 × 180° - 180°) = 2 × (2 × 180°) = 2 × 360° = 720°.

  • de grotere zijde wordt tegengesteld door de grotere hoek
    Grotere zijde tegenover een grotere hoek
    5. Wat een driehoek ook is met twee niet-congruente zijden, de grootste zijde staat tegenover de grotere hoek. Als a > b en a > c, dan ∠A > ∠B en ∠A > ∠C.

Hoe los je de driehoek op als je de lengtes van de drie zijden kent?

  • Als je de lengtes a, b en c kent van de drie zijden van een driehoek △ABC, waarbij a de tegenoverliggende zijde is ∠A, b de tegenoverliggende zijde is ∠B, en c de tegenoverliggende zijde is ∠C, kan elke hoek worden berekend met behulp van de onderstaande formules.

De herschikte vorm van de wet van cosinus (of cosinusregel)

  • Deze formule wordt gebruikt om de maat van een hoek in een willekeurige driehoek te berekenen als je de lengtes van alle drie de zijden kent:
  • ∡A = arccos((b2 + c2 - a2) / (2 × b × c))
  • ∡B = arccos((a2 + c2 - b2) / (2 × a × c))
  • ∡C = arccos((a2 + b2 - c2) / (2 × a × b))
  • Voorbeeld: Als je de zijden van een driehoek kent, a = 7, b = 5 and c = 9, bereken de hoeken ∡A, ∡B en ∡C van de driehoek:
  • ∡A =
    arccos((52 + 92 - 72) / (2 × 5 × 9)) =
    arccos((25 + (9 + 7) × (9 - 7))) / 90) =
    arccos((25 + 16 × 2)) / 90) =
    arccos((25 + 32)) / 90) =
    arccos(57/90) =
    arccos(0.6333) =
    0.88498643446628 radialen =
    50.705987621249 graden
  • ∡B =
    arccos((72 + 92 - 52) / (2 × 7 × 9)) =
    arccos((49 + (9 + 5) × (9 - 5))) / 126) =
    arccos((49 + 14 × 4)) / 126) =
    arccos((49 + 56)) / 126) =
    arccos(105/126) =
    arccos(0.8333) =
    0.58574584298534 radialen =
    33.560764670393 graden
  • ∡C =
    arccos((72 + 52 - 92) / (2 × 7 × 5)) =
    arccos((49 + (5 + 9) × (5 - 9))) / 70) =
    arccos((49 + 14 × -4)) / 70) =
    arccos((49 + -56)) / 70) =
    arccos(-7/70) =
    arccos(-0.1) =
    1.6709637479565 radialen =
    95.739170477267 graden
  • Controleer of de som van de hoeken ∡A + ∡B + ∡C = 180°.
  • ∡A = 50.705987621249°
    ∡B = 33.560764670393°
    ∡C = 95.739170477267°
    ∡A + ∡B + ∡C =
    50.705987621249 + 33.560764670393 + 95.739170477267 =
    180.00592276891° ≈ 180°