Cosinusregel of de algemene stelling van Pythagoras. Formule en bewijs

De cosinusregel, of de algemene stelling van Pythagoras

De cosinusregel, of de algemene stelling van Pythagoras, stelt dat we in elke driehoek △ABC deze drie relaties hebben tussen de lengtes van de zijden a, b en c en de cosinus van de hoeken ∠A, ∠B en ∠C:

• a² = b² + c² - 2 × b × c × cos(∠A)
• b² = a² + c² - 2 × a × c × cos(∠B)
• c² = a² + b² - 2 × a × b × cos(∠C)
• Waar:
• a = de zijde van de driehoek tegenover hoek ∠A
• b = de zijde van de driehoek tegenover hoek ∠B
• c = de zijde van de driehoek tegenover hoek ∠C

Het wordt ook wel de algemene stelling van Pythagoras genoemd, omdat het voor alle driehoeken werkt. Als de hoek ∠A, ∠B of ∠C een rechte hoek is, cos(90°) = 0, waardoor het extra deel verdwijnt en de klassieke stelling van Pythagoras overblijft:

• a² = b² + c²
• b² = a² + c²
• c² = a² + b²

• Bewijs van de cosinusregel

• In elke driehoek △ABC, die niet rechthoekig is, met zijdelengtes BC = a, AC = b en AB = c, teken vanuit hoekpunt A de loodlijn op de zijde BC, die BC snijdt in punt D. De lengtes van de zijden: AD = h_a, BD = a1 en CD = a2, waarbij a1 + a2 = a.
• 

  Bewijs van de cosinusregel

In de rechthoekige driehoek △ABD hebben we de volgende trigonometrische relaties:

In de rechthoekige driehoek △ADC pas de stelling van Pythagoras toe:

Vervang h_a en a1 in de bovenstaande formule:

In de rechthoekige driehoek △ABD pas de stelling van Pythagora toe:

Vervang ^{(h_a2 + a12)}/_c² in de laatste formule van b²:

Door de loodlijnen h_b en h_c naar de andere twee zijden van de driehoek te tekenen, kunnen we op dezelfde manier ook de andere twee relaties van de cosinusregel bewijzen.

• Wanneer moet je deze stelling gebruiken

• De cosinusregel kan gebruikt worden om:
• 1. Om de onbekende lengte van een zijde in een driehoek te vinden als we de lengtes van de andere twee zijden kennen en de maat van de tegenovergestelde hoek.
• 2. Om de onbekende maat van een hoek in een driehoek te vinden als we alle drie de lengtes van de zijden kennen
• Om dat te doen, herschrijft u de cosinusregel om de cosinus van de hoek te benadrukken, en past u vervolgens de functie arccos toe voor beide zijden van de gelijkheid.
• Aangezien cos en arccos zijn inverse functies, arccos(cos(∡B)) = ∡B:

Hetzelfde proces kan worden gebruikt om de formules voor de afmetingen van de andere twee hoeken, ∠A en ∠C, te demonstreren.

• Berekeningsvoorbeelden

• Het voorbeeld 1: Een zijdelengte berekenen wanneer de tegenovergestelde hoek en de andere twee zijden gegeven zijn.
• In een driehoek waar de lengtes van twee zijden zijn gegeven, a = 5, c = 7, en de maat van de hoek ertussen is ∡B = 54°, laten we de lengte van zijde b berekenen:
• Voeg de gegeven gegevens toe aan één van de drie vergelijkingen van de cosinusregel.
• Gebruik een rekenmachine om de functie cos(54°) te berekenen.
• b² = 5² + 7² - 2 × 5 × 7 × cos(54°) = 74 - 70 × 0,5877852522925 = 74 - 41,144967660475 = 32,855032339525
• De vierkantswortel van b² = 32,855032339525 => b = 5,7319309433667 ≈ 5,73
• Het voorbeeld 2: De maat van een hoek berekenen als alle drie de zijdelengtes bekend zijn.
• Laten we in een driehoek waarvan de lengtes van de zijden a = 5, b = 5,73 en c = 7 zijn, de maat van de hoek ∠B berekenen:
• Voeg de gegeven gegevens toe aan een van de drie vergelijkingen die opnieuw zijn gerangschikt voor de hoeken van de cosinusregel.
• Laten we onthouden: a² - b² = (a + b) × (a - b).
• Gebruik een rekenmachine om de functie arccos() te berekenen.
• m(∡B) = arccos(^{(52 + 72 - 5,732)} / _{(2 × 5 × 7)}) = arccos(^{(25 + (7 + 5,73) × (7 - 5,73)} / ₇₀) = arccos(^{(25 + 12,73 × 1,27)} / ₇₀) = arccos(⁴¹ / ₇₀) = arccos(0,5881014285714) = 53,977604748002° ≈ 53,98°.