Cosinus en Arccosinus in een rechthoekige driehoek

• Definities

• Definitie 1: Cosinus - In een rechthoekige driehoek vertegenwoordigt de cosinus van een hoek de verhouding van de zijde grenzend aan de hoek tot de hypotenusa.
• cos(∠A) = ^c/_b
• 

  Cosinus en arccosinus

• Definitie 2: Arccos (de arccosinus) - Dit is het omgekeerde van de standaard cosinus wiskundige functie. Terwijl de cosinusfunctie een hoek neemt en de overeenkomstige verhouding teruggeeft, neemt de arccos een verhouding en geeft de overeenkomstige hoek terug.
• Aangezien cos en arccos inverse functies zijn, arccos(cos(∡A)) = ∡A. Als we de functie arccos toepassen op de bovenstaande gelijkheid:
• cos(∡A) = ^c/_b => arccos(cos(∡A)) = arccos(^c/_b) <=>
• ∡A = arccos(^c/_b) =>
• arccos(^c/_b) = hoekmaat ∡A

• De cosinus van aanvullende hoeken

• Definitie: Twee hoeken zijn aanvullend als de som van hun afmetingen gelijk is aan 180 graden (π radialen).
• Voorbeeld: een hoek van 120° is een aanvulling op die van 60°, omdat 120° + 60° = 180°.
• Aanvullende cosinusformule voor hoeken:

cos(180° - θ) = - cos(θ)

• Hoe bewijzen we deze formule?
• Op het systeem van orthogonale assen xOy hebben we deze cirkel met middelpunt O en straal r.
• We kiezen het punt A op de cirkel zo dat de maat van de hoek die het segment OA maakt met de as Ox gelijk is aan θ. C is de projectie van punt A op de as Ox, d.w.z. AC staat loodrecht op Ox. => In de rechthoekige driehoek △AOC is de maat van de hoek ∡AOC m(∡AOC) = θ.
• 

  De cosinus van aanvullende hoeken

• We kiezen punt B op de cirkel zo dat de maat van de hoek gemaakt door het segment OB met de as Ox gelijk is aan (180° - θ). D is de projectie van punt B op de Ox-as, d.w.z. BD staat loodrecht op Ox. => In de rechthoekige driehoek △BOD is de maat van de hoek ∡BOD m(∡BOD) = θ.
• Rechtse driehoeken △AOC en △BOD zijn congruent (hoek, θ, hypotenusa, r) ​​=> OC congruent met OD, OC ≅ OD.
• De cosinus van de hoeken ∡AOC en ∡BOC zijn:

Maar OD = - OC (ze hebben dezelfde lengte, zijn congruente segmenten, maar bevinden zich in verschillende kwadranten in termen van Ox).

• => cos(∡BOC) = cos(180° - θ) = - ^OC/_r = - cos(θ)
• => cos(180° - θ) = - cos(θ)

• Berekeningsvoorbeelden

• Voorbeeld 1: De cosinus berekenen
• In een rechthoekige driehoek met de maat van hoek ∡B = 90°, de lengte van zijde b = 10 en de lengte van zijde c = 6, wordt de cosinus van hoek ∠A berekend als:
• 

  Cosinus en arccosinus

cos(∠A) = ^c/_b = ⁶/₁₀ = ³/₅ = 0,6