Sinusregel in een driehoek, bewijs op de omgeschreven cirkel

• Sinusregel

• De sinusregel stelt dat voor elke driehoek △ABC met zijdelengtes BC = a, AC = b, en AB = c en hoeken ∠A, ∠B en ∠C, de verhouding van elke zijdelengte tot de sinus van de tegenovergestelde hoek constant is en gelijk is aan de diameter van de omgeschreven cirkel van de driehoek:

• ^a / _sin(∡A) = ^b / _sin(∡B) = ^c / _sin(∡C) = 2 × R
• Waar:
• a, b en c zijn de lengtes van de drie zijden
• ∡A, ∡B en ∡C zijn de maten van de drie hoeken
• ∠A is de hoek tegenovergesteld aan zijde a
• ∠B is de hoek tegenovergesteld aan zijde b
• ∠C is de hoek tegenovergesteld aan zijde c
• R is de straal van de omgeschreven cirkel van de driehoek △ABC
• 2 × R = diameter van de omgeschreven cirkel van de driehoek

• Bewijs van de sinusregel met behulp van de omgeschreven cirkel

• Laat een driehoek △ABC en zijn omgeschreven cirkel zijn: teken een cirkel die door alle drie de hoekpunten A, B en C van de driehoek gaat, met straal R en middelpunt O.

» Hoe het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek te vinden

• 

  Driehoek △ABC en de omgeschreven cirkel

• Door het hoekpunt C (het kan net zo goed A of B zijn) tekenen we het lijnsegment CD, dat de omgeschreven cirkel snijdt in punt D en door het middelpunt O van de cirkel gaat, en dus ook de diameter van de cirkel is, CD = 2 × R.
• De ingeschreven hoekstelling: de maat van een hoek ingeschreven in een cirkel is de helft van de maat van de boog tussen de zijden.
• De nieuw gecreëerde driehoek, △DBC, is een rechthoekige driehoek, omdat de maat van de hoek ∡DBC = 90°, zijnde de helft van de maat van de boog van de cirkel, die 180 graden is (CD-diameter).

m(∡DBC) = 90°

In de rechthoekige driehoek △BDC hebben we de trigonometrische relatie:

sin(∡D) = ^BC/_CD = ^a/_{(2 × R)}

Maar de hoeken ∠D en ∠A zijn congruent, omdat het twee hoeken zijn die in dezelfde cirkel zijn ingeschreven en met afmetingen gelijk aan de helft van de lengte van dezelfde cirkelboog (BC):

∠D ≅ ∠A

Dit betekent dat de sinussen berekend uit de twee congruente hoeken ∠D en ∠A ook gelijk zijn:

sin(∡D) = sin(∡A)

Vervang sin(∡D) in de trigonometrische relatie in de rechthoekige driehoek △BDC:

• sin(∡D) = ^a/_{(2 × R)}
• sin(∡A) = ^a/_{(2 × R)}
• Oplossen voor 2 × R:
• 2 × R = ^a / _sin(∡A)

Het toepassen van de bovenstaande logica nog twee keer, op de "b" en "c" zijden, zal laten zien dat alle drie de verhoudingen gelijk zijn aan dezelfde waarde, 2 × R:

^a / _sin(∡A) = ^b / _sin(∡B) = ^c / _sin(∡C) = 2 × R

• Berekeningsvoorbeeld

• In een driehoek △ABC worden de afmetingen van twee hoeken gegeven, m(∡A) = 45° en m(∡B) = 30°, en de lengte van zijde BC (a) = 10. We worden gevraagd de lengtes van de andere twee zijden van de driehoek te berekenen.
• Bereken de constante waarde (2 × R) van de verhouding van de lengte van zijde "a" tot de sinus van hoek ∠A:

Pas de sinusregel toe voor zijde "b" en hoek ∠B en los op voor "b":

Bereken de maat van de hoek ∠C wetende dat de som van de maten van de hoeken van een driehoek 180° is:

Pas de sinusregel toe voor de zijde "c" en hoek ∠C en los op voor "c":