Hoe de lengtes van de medianen van een driehoek te berekenen, gegeven de lengtes van de drie zijden

Leer de lengtes van de medianen van een driehoek berekenen, gegeven de lengtes van de zijden. De stelling van Apollonius

De medianen in een driehoek
Definitie: Een mediaan van een driehoek is een lijnsegment dat een hoekpunt van de driehoek verbindt met het middelpunt van de tegenoverliggende zijde.
Elke driehoek heeft drie medianen die samenkomen in één enkel middelpunt, het zogenaamde zwaartepunt.
De drie medianen van de driehoek
In de driehoek △ABC is m_a de mediaan die hoekpunt A verbindt met het midden van zijde BC, m_b is de mediaan die hoekpunt B verbindt met het midden van zijde AC en m_c is de mediaan die hoekpunt C verbindt met het midden van zijde AB. Alle medianen kruisen elkaar in punt G, het zwaartepunt.
Het punt G verdeelt de lengtes van de drie medianen als volgt:

Stelling van Apollonius
In een driehoek △ABC, waarvan we de lengtes van de zijden "a", "b" en "c" kennen, met respectievelijk de tegenovergestelde hoekpunten A, B en C, is er een relatie tussen de lengtes van de zijden en de lengtes van de medianen m_a, m_b en m_c, waarbij de mediaan m_a wordt getrokken vanaf het hoekpunt A naar zijde "a", de mediaan m_b wordt getrokken van hoekpunt B naar zijde "b", en m_c wordt getrokken van hoekpunt C naar zijde "c":

Voorbeeldnr. 1
Twee van de drie medianen moeten gelijk zijn in een gelijkbenige driehoek. Laten we deze drie medianen m_a, m_b en m_c berekenen en kijken of twee daarvan gelijk zijn of niet. De lengtes van de zijden worden gegeven als: a = 10, b = 6 en c = 10.
Pas de stelling van Apollonius toe en los de medianen op:

We kunnen zien dat twee van de medianen gelijk zijn, degene die corresponderen met de congruente zijden, m_a ≅ m_c

Voorbeeldnr. 2
De lengte van een mediaan in een rechthoekige driehoek met een hoek van 30 graden, overeenkomend met de hypotenusa, moet de helft zijn van de lengte van de hypotenusa. De zijdelengten in deze driehoek worden als volgt gegeven: a = 10 (hypotenusa), b = 5, en c = 8,66025 Laten we de mediaan m_a van deze rechthoekige driehoek berekenen, corresponderend met de hypotenusa, en de bovengenoemde regel controleren.
Pas de stelling van Apollonius toe en los de medianen op:

We kunnen zien dat de lengte van de mediaan die overeenkomt met de hypotenusa, m_a, de helft is van de lengte van de hypotenusa.

Voorbeeldnr. 3
Laten we de medianen m_a, m_b en m_c van een driehoek berekenen als alle lengtes van de zijden gegeven zijn: a = 10, b = 6 en c = 10.
Pas de stelling van Apollonius toe en los de medianen op: