Hoe het middelpunt van de cirkel in een driehoek te vinden
Leer het middelpunt van de cirkel te vinden die in een driehoek is ingeschreven. De deellijnen van de hoeken
De deellijnen van de hoeken van een driehoek. Het middelpunt van de cirkel ingeschreven in de driehoek
Wat is een deellijn van een hoek?
- De bissectrice van een hoek is een lijnsegment binnen de hoek, met de oorsprong aan de top, die met de zijden van de hoek twee kleinere congruente hoeken vormt.
- Belangrijk: Elk punt dat tot de bissectrice behoort, ligt op gelijke afstand van beide zijden van de hoek.
Bissectrice van een hoek
Hoe vind je het middelpunt van de cirkel ingeschreven in een driehoek?
- In elke driehoek kruisen de deellijnen van de hoeken elkaar op exact hetzelfde punt, dat is het middelpunt van de cirkel die raakt aan de zijden van de driehoek, de cirkel genoemd die in de driehoek is ingeschreven. Dit is de grootste cirkel die in de driehoek past.
De bissectrices en de cirkel ingeschreven in de driehoek
- In de driehoek △ABC:
- AA' is de bissectrice van de hoek ∠BAC => ∠BAA' = ∠CAA' = ∠BAC / 2
- BB' is de bissectrice van de hoek ∠ABC => ∠ABB' = ∠CBB' = ∠ABC / 2
- CC' is de bissectrice van de hoek ∠ACB => ∠ACC' = ∠BCC' = ∠ACB / 2
Bissectrices AA', BB' en CC' snijden elkaar in punt O, dat het middelpunt is van de cirkel ingeschreven in de driehoek.
Waarom is het snijpunt van de bissectrices het middelpunt van de cirkel ingeschreven in de driehoek?
- O is een punt op de bissectrice AA' en ligt dus op gelijke afstand van de lijnstukken AB en AC =>
- [1] de afstand van het punt O tot het segment AB is OP, waarbij OP ⊥ AB (⊥ het symbool is voor loodrechte segmenten);
- [2] de afstand van het punt O tot het segment AC is AAN, waarbij AAN ⊥ AC;
- [3] OP ≅ ON.
- O is een punt op de bissectrice BB' en ligt dus op gelijke afstand van de lijnstukken AB en BC =>
- [1] de afstand van het punt O tot het segment AB is OP, waarbij OP ⊥ AB;
- [2] de afstand van het punt O tot het segment BC is OM, waarbij OM ⊥ BC;
- [3] OP ≅ OM.
- Uit de bovenstaande relaties volgt dat OP ⊥ AB, OM ⊥ BC, ON ⊥ AC en OM = ON = OP = r, waarbij r de straal is van de cirkel ingeschreven in de driehoek.
- Opmerkingen:
- Een cirkel ingeschreven in een driehoek is de grootste cirkel die in een driehoek kan worden getekend, zodat deze alle drie de zijden raakt.
- Een cirkel raakt een lijn als de lijn en de cirkel precies één punt gemeen hebben. Het segment gevormd door het middelpunt van de cirkel en het contactpunt met de lijn staat loodrecht op de lijn.