De formule van de Heron, een bewijs met behulp van de stelling van Pythagoras

De formule van Heron. Een stapsgewijs bewijs met behulp van de stelling van Pythagoras

De formule van Heron. Bewijs



  • De Heron-formule

  • Gezien de lengtes van de drie zijden, kan de oppervlakte van een driehoek worden berekend met behulp van de Heron-formule:

  • Oppervlakte2 = s × (s - a) × (s - b) × (s - c)
  • Waar:
  • a, b en c zijn de lengtes van de drie zijden van de driehoek
  • "s" is de halve omtrek van de driehoek s = P/2
  • "P" is de omtrek van de driehoek, P = a + b + c
  • s = (a + b + c)/2

  • Stapsgewijze demonstratie van de formule van Heron, met behulp van de stelling van Pythagora

  • Beschouw een driehoek △ABC met zijn zijden BC = a, AC = b en AB = c. Trek de hoogte van hoekpunt A, tegenovergesteld aan zijde "a", AD ⊥ BC, D ∈ BC, de lengte van AD = h. AD splitst de basis "a" in twee segmenten, met lengtes BD = x en CD = a - x.
  • Driehoek △ABC en de formule van Heron

    Driehoek △ABC en de formule van Heron


Pas de stelling van Pythagoras toe op de rechthoekige driehoek △ADB:


  • h2 + x2 = c2
  • h2 = c2 - x2

Pas de stelling van Pythagoras toe op de rechthoekige driehoek △ADC:


  • h2 + (a - x)2 = b2
  • h2 = b2 - (a - x)2

Maak de twee uitdrukkingen voor h2 gelijk en los het segment "x" op:


  • c2 - x2 = b2 - (a - x)2
  • c2 - x2 = b2 - (a2 - 2 × a × x + x2)
  • c2 - x2 = b2 - a2 + 2 × a × x - x2
  • c2 = b2 - a2 + 2 × a × x
  • 2 × a × x = a2 + c2 - b2
  • x = (a2 + c2 - b2)/(2 × a)

Vervang "x" terug in de formule van h2 en bereken de hoogte "h":


  • h2 = c2 - x2
  • h2 = c2 - ((a2 + c2 - b2)/(2 × a))2
  • h2 = c2 - (a2 + c2 - b2)2/(2 × a)2

Converteer de twee breuken naar een gemeenschappelijke noemer


  • h2 = c2 × (2 × a)2/(2 × a)2 - (a2 + c2 - b2)2/(2 × a))2
  • h2 = (c2 × (2 × a)2)/(2 × a)2 - (a2 + c2 - b2)2/(2 × a))2
  • h2 = (c2 × (2 × a)2 - (a2 + c2 - b2)2) / (2 × a))2
  • h2 = ((2 × a × c)2 - (a2 + c2 - b2)2) / (2 × a))2

Ontleed de expressie met behulp van de regel voor het verschil in kwadraten, c2 - x2 = (c - x) × (c + x)


  • h2 = (2 × a × c - a2 - c2 + b2) × (2 × a × c + a2 + c2 - b2) / (2 × a)2

Pas de verkorte berekeningsformules toe:
(a2 - 2 × a × c + c2) = (a - c)2
(a2 + 2 × a × c + c2) = (a + c)2


  • h2 = (b2 - (a2 - 2 × a × c + c2)) × ((a2 + 2 × a × c + c2) - b2) / (2 × a)2
  • h2 = (b2 - (a - c)2) × ((a + c)2 - b2) / (2 × a)2
  • h2 = (b - a + c) × (b + a - c) × (a + c - b) × (a + c + b) / (2 × a)2
  • h2 = (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c) / (2 × a)2

Vervang h2 in de gebiedsformule:


  • Oppervlakte = 1/2 × a × h
  • Area2 = 1/4 × a2 × h2
  • Oppervlakte2 = 1/4 × a2 × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c) / (4 × a2)
  • Oppervlakte2 = 1/16 × (a + b + c) × (b + c - a) × (a + c - b) × (a + b - c)

Gebruik de semi-perimeter s = (a + b + c)/2 om de factoren van de laatste formule van de oppervlakte van bovenaf te herschrijven:


  • s = (a + b + c)/2
  • a + b + c = 2 × s
  • b + c - a = 2 × s - 2 × a = 2 × (s - a)
  • a + c - b = 2 × s - 2 × b = 2 × (s - b)
  • a + b - c = 2 × s - 2 × c = 2 × (s - c)

Herschrijf de laatste formule van de oppervlakte:


  • Oppervlakte2 = 1/24 × 2 × s × 2 × (s - a) × 2 × (s - b) × 2 × (s - c)
  • Oppervlakte2 = s × (s - a) × (s - b) × (s - c) - De Heron-formule

  • Voorbeeld: laten we de oppervlakte van een driehoek berekenen met behulp van de Heron-formule

  • Laten we de oppervlakte van een driehoek berekenen met de lengtes van de zijden a = 12, b = 17 en c = 14 eenheden.

  • Oppervlakte2 =

  • s × (s - a) × (s - b) × (s - c) =
  • 21,5 × (21,5 - 12) × (21,5 - 17) × (21,5 - 14) =
  • 21,5 × 9,5 × 4,5 × 7,5 =
  • 6.893,4375 ≈
  • 6.893,44

Oppervlakte ≈ 83,026727624302 ≈ 83,03 vierkante eenheden