De stelling van Apollonius. Formule en bewijs

• De medianen in een driehoek

• Definitie: Een mediaan van een driehoek is een lijnsegment dat een hoekpunt van de driehoek verbindt met het middelpunt van de tegenoverliggende zijde.
• Elke driehoek heeft drie medianen die samenkomen in één enkel middelpunt, het zogenaamde zwaartepunt.
• 

  De drie medianen van de driehoek

• In de driehoek △ABC is m_a de mediaan die hoekpunt A verbindt met het midden van zijde BC, m_b is de mediaan die hoekpunt B verbindt met het midden van zijde AC en m_c is de mediaan die hoekpunt C verbindt met het midden van zijde AB. Alle medianen kruisen elkaar in punt G, het zwaartepunt.
• Het punt G verdeelt de lengtes van de drie medianen als volgt:

• ^AG/_AM = ^BG/_BP = ^CG/_CN = ²/₃
• ^GM/_AM = ^GP/_BP = ^GN/_CN = ¹/₃
• ^GM/_AG = ^GP/_BG = ^GN/_CG = ¹/₂
  

• Stelling van Apollonius

• In een driehoek △ABC, waarvan we de lengtes van de zijden "a", "b" en "c" kennen, met respectievelijk de tegenovergestelde hoekpunten A, B en C, is er een relatie tussen de lengtes van de zijden en de lengtes van de medianen m_a, m_b en m_c, waarbij de mediaan m_a wordt getrokken vanaf het hoekpunt A naar zijde "a", de mediaan m_b wordt getrokken van hoekpunt B naar zijde "b", en m_c wordt getrokken van hoekpunt C naar zijde "c":

• b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) =>
• m_a² = ^{(b2 + c2)}/₂ - (^a/₂)²
• a² + c² = 2 × (m_b² + (^b/₂)²) =>
• m_b² = ^{(a2 + c2)}/₂ - (^b/₂)²
• a² + b² = 2 × (m_c² + (^c/₂)²) =>
• m_c² = ^{(a2 + b2)}/₂ - (^c/₂)²

• Bewijs van de stelling van Apollonius

• We bewijzen de stelling van Apollonius met behulp van de cosinusregel, ook wel de algemene stelling van Pythagoras genoemd, die ook wordt gebruikt om de afmetingen van de hoeken in een driehoek te berekenen.
• » Cosinusregel of de algemene stelling van Pythagoras. Formule en bewijs
• 

  De drie medianen van de driehoek Bewijs van de stelling van Apollonius

• Laat mediaan AM, met lengte m_a, de zijde BC, met lengte "a", verdelen in twee gelijke delen, met lengte BM = CM = ^a/₂. Ook de lengtes van AB = c, AC = b, BC = a.
• Laat de maat van de hoek ∡AMB = θ. Omdat de som van twee hoeken op een rechte lijn gelijk is aan 180°, dan is de aangrenzende hoek ∡AMC = 180° - θ.

• => cos(180° - θ) = - cos(θ)
• » Cosinus en arccosinus in een rechthoekige driehoek

Pas de cosinusregel toe op de driehoek △ABM, en zorg ervoor dat u ook de hoek ∡AMB = θ opneemt in de formule:

• c² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(θ)
• => [1] c² = m_a² + (^a/₂)² - m_a × a × cos(θ)

Pas de cosinusregel toe op de driehoek △ACM, en zorg ervoor dat u ook de hoek ∡AMC = 180° - θ opneemt in de formule:

• b² = m_a² + (^a/₂)² - 2 × m_a × ^a/₂ × cos(180° - θ)
• Vervang de expressie: cos(180° - θ) = - cos(θ)
• De initiaal bovenstaande relatie wordt:
• [2] b² = m_a² + (^a/₂)² + m_a × a × cos(θ)

• Tel de twee vergelijkingen [1] en [2] bij elkaar op. De termen "m_a × a × cos(θ)" en "- m_a × a × cos(θ)" heffen elkaar op:

b² + c² = 2 × (m_a² + (^a/₂)²) - Stelling van Apollonius

• Rekenvoorbeeld

• Laten we de medianen m_a, m_b en m_c van een driehoek berekenen als alle lengtes van de zijden gegeven zijn: a = 12, b = 10 en c = 8.
• Pas de stelling van Apollonius toe en los de medianen op: