Stelling van Pythagoras, bewijs met behulp van een vierkant

• Stelling van Pythagoras

• In elke rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de hypotenusa:

• c² = a² + b²
• Waar:
• a en b zijn de lengtes van de twee rechthoekszijden
• c is de lengte van de hypotenusa

• Gegeneraliseerde stelling van Pythagoras

• De gegeneraliseerde stelling van Pythagoras, ook wel de cosinusstelling genoemd, legt als volgt een relatie vast tussen de lengte van één zijde van een gegeven driehoek en de andere twee zijden, met behulp van de cosinus van de hoek tussen deze twee zijden:

c² = a² + b² - 2 × a × c × cos(∠C)

Als de maat van de hoek ∠C echter m(∡C) = 90° => cos(90°) = 0 is, wordt de formule van de algemene stelling van Pythagoras de klassieke stelling van Pythagoras:

c² = a² + b²

• » Klik om de definities van Cosinus en Arccosinus in een rechthoekige driehoek te zien
• » Klik om de cosinusregel of de algemene stelling van Pythagoras te bekijken. Formule en bewijs

• 1. We bouwen een vierkant met zijdelengte L = a + b

• We plaatsen binnen dit vierkant vier congruente rechthoekige driehoeken. De lengtes van de rechthoekszijden van deze rechter vierkanten zijn respectievelijk a en b, zoals in de figuur hiernaast.
• De lengte van de vier hypotenussen is gelijk aan c.
• 

  Demonstratie van de stelling van Pythagoras met behulp van het vierkant

• De vier driehoeken zijn congruent en de afmetingen van de hoeken α + β = 90°.
• Het blijkt dat de afmetingen van de hoeken γ = 180° - (α + β) = 180° - 90° = 90°.
• Het blijkt dus dat de polygoon van zijde c een vierkant is.

• 2. We berekenen de oppervlakte van het grote vierkant op twee manieren

• De oppervlakte van het grote vierkant, Oppervlakte_L, kan het eenvoudigst worden verkregen door de zijden te vermenigvuldigen:

Oppervlakte_L = L × L = L² = (a + b)²

De oppervlakte van het grote vierkant, Oppervlakte_L, kan echter ook worden verkregen door de gebieden van de geometrische vormen waaruit het bestaat op te tellen, d.w.z. de vier congruente rechthoekige driehoeken en het kleinere vierkant, van zijde c, gevormd in het midden:

Oppervlakte_L = 4 × ¹/₂ × a × b + c × c = 2 × a × b + c²

• 3. We hebben de twee relaties gelijk gemaakt:

• Beide vergelijkingen vertegenwoordigen de oppervlakte van het grote vierkant, Oppervlakte_L, berekend op verschillende manieren, dus ze zijn gelijk aan elkaar.

2 × a × b + c² = (a + b)²

Maak het haakje ongedaan:

2 × a × b + c² = a² + 2 × a × b + b²

We schrappen de gebruikelijke term, "2 × a × b", aan beide kanten van gelijkheid, en verkrijgen de stelling van Pythagoras:

c² = a² + b²

• Waarom is de stelling van Pythagoras belangrijk

• De stelling van Pythagoras legt een relatie vast tussen de lengtes van de zijden van een rechthoekige driehoek.
• Door de stelling van Pythagoras toe te passen kunnen we bepalen of een driehoek rechthoekig is of niet.
• De stelling van Pythagoras heeft veel praktische toepassingen: in de meetkunde is het de basis van trigonometrie, het wordt gebruikt om de afstanden tussen twee punten op een kaart te berekenen, het is de basis van lokalisatiesystemen op digitale kaarten of om routes vast te stellen, het wordt gebruikt in de bouw en architectuur om hoeken van 90 graden te construeren, en in de natuurkunde en techniek om krachten of snelheden te ontbinden.

• Voorbeeld 1: berekening van de hypotenusa in een rechthoekige driehoek

• We hebben een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden met lengtes a = 3 en b = 4, laten we de lengte van de hypotenusa berekenen, c.

• Voorbeeld 2: we controleren of een driehoek rechthoekig is

• We hebben een driehoek met zijdelengtes a = 4, b = 7 en c = 8, laten we controleren of het een rechthoekige driehoek is.
• We nemen aan dat de driehoek rechthoekig is, we passen de stelling van Pythagoras toe en kijken of deze geverifieerd is.

De stelling van Pythagoras is niet geverifieerd, dus de driehoek is niet rechthoekig.