Hoe bewijs je de berekeningsformule van de straal van de omgeschreven cirkel van een driehoek?

• Berekeningsformule van de straal van de omgeschreven cirkel van een driehoek

• Om R, de straal van de cirkel die de driehoek △ABC omschrijft, te berekenen, pas je de formule toe:
• 

  Omgeschreven cirkel van een driehoek, met straal R

• R = ^{(a × b × c)} / _{(4 × Oppervlakte)}
• Waar:
• a, b en c zijn de lengtes van de drie zijden van de driehoek △ABC
• R is de straal van de omgeschreven cirkel van de driehoek △ABC
• Oppervlakte is de oppervlakte van de driehoek △ABC

» Hoe het middelpunt van de omgeschreven cirkel van een driehoek te vinden

• Hoe kan ik de berekeningsformule van de straal van de omgeschreven cirkel bewijzen?

• We gebruiken de Sinusregel en de Trigonometrische formule van de oppervlakte van een driehoek om de formule van de straal erboven aan te tonen.
• 1) De sinusregel legt de relatie vast tussen de lengtes van de zijden a, b en c van de driehoek △ABC, en de sinussen van de tegenovergestelde hoeken, ∠A, ∠B en ∠C:

• [1] ^a / _sin(∠A) = ^b / _sin(∠B) = ^c / _sin(∠C) = 2 × R
• Waar:
• R is de straal van de omgeschreven cirkel van de driehoek △ABC
• a, b en c zijn de lengtes van de drie zijden van de driehoek △ABC
• ∠A, ∠B en ∠C zijn de hoeken van de driehoek △ABC

» Sinusregel in een driehoek, bewijs op de omgeschreven cirkel

• 2) De goniometrische formule van de oppervlakte stelt dat de oppervlakte van een driehoek gelijk is aan de helft van het product van de lengtes van twee zijden van de driehoek en de sinus van de hoek ertussen:
• 

  Hoe kan ik de berekeningsformule van de straal van de omgeschreven cirkel bewijzen?

• [2] Oppervlakte = ¹/₂ × b × c × sin(∠A)
• Waar:
• b en c zijn de lengtes van twee zijden van driehoek △ABC
• ∠A is de hoek tussen de zijden met lengtes b en c

» Hoe bereken je de oppervlakte van een driehoek, gegeven de lengtes van twee zijden en de maat van de hoek ertussen. Trigonometrische formule

Uit de relatie [1], van de sinusregel, kunnen we de formule voor de sinus van hoek ∠A afleiden:

[3] sin(∠A) = ^a/_{(2 × R)}

Vervang sin(∠A) in de relatie [2], van de goniometrische formule van het gebied:

Los R op in de relatie hierboven, van het gebied, en zo wordt de berekeningsformule van de straal van de omgeschreven cirkel van een driehoek bewezen:

R = ^{a × b × c}/_{(4 × Oppervlakte)}