Sinus en Arcsinus in een rechthoekige driehoek

• Definities

• Definitie 1: De sinus - In een rechthoekige driehoek vertegenwoordigt de sinus van een hoek de verhouding van de zijde tegenover die hoek tot de hypotenusa.
• sin(∠A) = ^a/_b
• 

  Sinus en boogsinus

• Definitie 2: Arcsin (de boogsinus) - Dit is het omgekeerde van de standaard sinus-wiskundige functie. Terwijl de sinusfunctie een hoek neemt en de overeenkomstige verhouding teruggeeft, neemt de arcsin een verhouding en geeft de overeenkomstige hoek terug.
• Aangezien sin en arcsin inverse functies zijn, arcsin(sin(∡A)) = ∡A. Als we de functie arcsin toepassen op de bovenstaande gelijkheid:
• sin(∡A) = ^a/_b => arcsin(sin(∡A)) = arcsin(^a/_b) <=>
• ∡A = arcsin(^a/_b) =>
• arcsin(^a/_b) = hoekmaat ∡A

• De sinus van aanvullende hoeken

• Definitie: Twee hoeken zijn complementair als de som van hun afmetingen gelijk is aan 180 graden (π radialen).
• Voorbeeld: een hoek van 110° is een aanvulling op die van 70°, omdat 110° + 70° = 180°.
• Aanvullende sinusformule voor hoeken:

sin(180° - θ) = sin(θ)

• Hoe bewijzen we deze formule?
• Op het systeem van orthogonale assen xOy hebben we de cirkel met middelpunt O en straal r.
• We kiezen het punt A op de cirkel zo dat de maat van de hoek die het segment OA maakt met de as Ox gelijk is aan θ. C is de projectie van punt A op de as Ox, d.w.z. AC staat loodrecht op Ox. => In de rechthoekige driehoek △AOC is de maat van de hoek ∡AOC m(∡AOC) = θ.
• 

  De sinus van aanvullende hoeken

• We kiezen punt B op de cirkel zo dat de maat van de hoek gemaakt door het segment OB met de as Ox gelijk is aan (180° - θ). D is de projectie van punt B op de Ox-as, d.w.z. BD staat loodrecht op Ox. => In de rechthoekige driehoek △BOD is de maat van de hoek ∡BOD m(∡BOD) = θ.
• Rechtse driehoeken △AOC en △BOD zijn congruent (hoek, θ, hypotenusa, r) ​​=> AC congruent met BD, AC ≅ BD.
• De sinussen van de hoeken ∡AOC en ∡BOC zijn:

Maar BD = AC (ze hebben dezelfde lengte, zijn congruente segmenten en bevinden zich in vergelijkbare kwadranten in termen van Ox).

• => sin(∡BOC) = sin(180° - θ) = ^AC/_r = sin(θ)
• => sin(180° - θ) = sin(θ)

• Berekeningsvoorbeelden

• Voorbeeld 1: De sinus berekenen
• In een rechthoekige driehoek met de maat van hoek ∡B = 90°, de lengte van zijde b = 10 (de zijde tegenover hoek ∡B) en de lengte van zijde a = 4 (de zijde tegenover hoek ∡A), wordt de sinus van hoek ∠A berekend als:
• 

  Sinus en boogsinus

sin(∠A) = ^a/_b = ⁴/₁₀ = ²/₅ = 0,4

• Voorbeeld 2: De boogsinus berekenen
• In een rechthoekige driehoek met de maat van hoek ∡B = 90°, de lengte van zijde b = 10 (de zijde tegenover hoek ∡B) en de lengte van zijde a = 4 (de zijde tegenover hoek ∡A), wordt de maat van hoek ∡A berekend als:
• arcsin(sin(∠A)) = hoekmaat ∡A = arcsin(^a/_b) = arcsin(⁴/₁₀) = arcsin(²/₅) = arcsin(0,4) = 23,578178478202° ≈ 23,58°.